Sự mở rộng khái niệm đường elíp lên các bậc cao khác ngoài hai hình thành đường siêu elíp en:Superellipse

| x a | n + | y b | n = 1 {\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}

• Squircle, siêu elíp với
  n= 4, a= b = 1, tương tự như hình vuông được kéo các góc vào.
• n = 3⁄2, a = b = 1 tạo ra một hình tròn hơn giống như đỉnh của hình vuông bị vát tròn.
• n = 1⁄2, a = b = 1 có hình sao 4 cạnh dạng Parabol.

Đường siêu elíp với hai số mũ khác nhau m ≠ n.

Tổng quát hơn nữa, ta có trường hợp đường elíp với hai số mũ khác nhau: m≠n

| x a | m + | y b | n = 1 ; m , n > 0. {\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.}

nghĩa là:

x ( θ ) = | cos ⁡ θ | 2 n ⋅ a sgn ⁡ ( cos ⁡ θ ) y ( θ ) = | sin ⁡ θ | 2 m ⋅ b sgn ⁡ ( sin ⁡ θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}}

• Mở rộng lên không gian ba chiều, ta có Ellipsoid:

Quả trứng bằng đồng thau theo Piet Hein. ( | x / a x | 2 / e + | y / a y | 2 / e ) e / n + | z / a z | 2 / n = 1. {\displaystyle \left(|x/a_{x}|^{2/e}+|y/a_{y}|^{2/e}\right)^{e/n}+|z/a_{z}|^{2/n}=1.\,\!}

Các phương trình tham số trong mặt phẳng chứa các tham số u và v gồm

x ( u , v ) = a x c ( v , n ) c ( u , e ) y ( u , v ) = a y c ( v , n ) s ( u , e ) z ( u , v ) = a z s ( v , n ) − π / 2 ≤ v ≤ π / 2 , − π ≤ u < π , {\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&{}=a_{x}c(v,n)c(u,e)\\y(u,v)&{}=a_{y}c(v,n)s(u,e)\\z(u,v)&{}=a_{z}s(v,n)\\&-\pi /2\leq v\leq \pi /2,\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}}

với các phương trình bổ trợ

c ( ω , m ) = sgn ⁡ ( cos ⁡ ω ) | cos ⁡ ω | m s ( ω , m ) = sgn ⁡ ( sin ⁡ ω ) | sin ⁡ ω | m {\displaystyle {\begin{aligned}c(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\cos \omega )|\cos \omega |^{m}\\s(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\sin \omega )|\sin \omega |^{m}\end{aligned}}}

và hàm sgn(x) được định nghĩa như sau

sgn ⁡ ( x ) = { − 1 , x < 0 0 , x = 0 + 1 , x > 0. {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}}

Thể tích giới hạn bởi mặt này có thể được tính thông qua hàm beta, β(m,n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n):

V = 2 3 a x a y a z e n β ( e 2 , e 2 ) β ( n , n 2 ) . {\displaystyle V={\frac {2}{3}}a_{x}a_{y}a_{z}en\beta \left({\frac {e}{2}},{\frac {e}{2}}\right)\beta \left(n,{\frac {n}{2}}\right).}